Công thức lượng giác đóng vai trò quan trọng trong toán học, không chỉ là nền tảng cho nhiều phép tính nâng cao mà còn có ứng dụng rộng rãi trong vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính. Nhiều học sinh gặp khó khăn khi học và ghi nhớ các công thức lượng giác do số lượng lớn và tính phức tạp của chúng. Việc nắm vững các công thức này không chỉ giúp đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Bài viết này tổng hợp đầy đủ các công thức lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm công thức cơ bản, công thức cộng và hiệu, công thức nhân, công thức biến đổi tổng và tích, cùng với bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Ngoài ra, bạn sẽ tìm thấy những mẹo hữu ích để ghi nhớ các công thức này một cách hiệu quả.
Khi nắm vững các công thức lượng giác, bạn sẽ dễ dàng giải quyết các bài toán phức tạp, từ tính toán khoảng cách, độ cao đến ứng dụng trong các lĩnh vực như kiến trúc, âm nhạc, y học và công nghệ. Hãy cùng khám phá thế giới của công thức lượng giác và biến chúng thành công cụ hữu ích trong học tập và cuộc sống của bạn.
1. Khái niệm cơ bản về lượng giác
Lượng giác là một nhánh của toán học nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác, đặc biệt là tam giác vuông. Các tỉ số lượng giác cơ bản được định nghĩa dựa trên tam giác vuông và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.
Định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông với góc α, các tỉ số lượng giác cơ bản được định nghĩa như sau:
- Sin α (sin α): Tỉ số giữa độ dài cạnh đối với góc α và độ dài cạnh huyền.sin α = cạnh đối / cạnh huyền
- Cosin α (cos α): Tỉ số giữa độ dài cạnh kề góc α và độ dài cạnh huyền.cos α = cạnh kề / cạnh huyền
- Tang α (tan α): Tỉ số giữa độ dài cạnh đối với góc α và độ dài cạnh kề góc α.tan α = cạnh đối / cạnh kề = sin α / cos α
- Cotang α (cot α): Tỉ số giữa độ dài cạnh kề góc α và độ dài cạnh đối với góc α.cot α = cạnh kề / cạnh đối = cos α / sin α = 1 / tan α
Một cách dễ nhớ các định nghĩa này là câu: “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”.
Mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác
Các tỉ số lượng giác có mối quan hệ mật thiết với nhau:
- tan α = sin α / cos α
- cot α = cos α / sin α = 1 / tan α
- sin² α + cos² α = 1 (Định lý Pythagore trong lượng giác)
- 1 + tan² α = 1 / cos² α
- 1 + cot² α = 1 / sin² α
Đơn vị đo góc: độ và radian
Trong lượng giác, có hai đơn vị đo góc phổ biến:
- Độ (°): Một vòng tròn đầy đủ có 360°. Một góc vuông bằng 90°.
- Radian (rad): Một vòng tròn đầy đủ có 2π radian. Một góc vuông bằng π/2 radian.
Công thức chuyển đổi giữa độ và radian
Để chuyển đổi giữa độ và radian, ta sử dụng các công thức sau:
- Chuyển từ độ sang radian: α (rad) = α (độ) × π / 180
- Chuyển từ radian sang độ: α (độ) = α (rad) × 180 / π
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giá trị sin, cos, tan của góc 30° trong tam giác vuông.
Trong tam giác vuông có một góc 30°, tỉ lệ các cạnh là 1 : √3 : 2 (cạnh đối : cạnh kề : cạnh huyền).
Do đó:
- sin 30° = cạnh đối / cạnh huyền = 1/2
- cos 30° = cạnh kề / cạnh huyền = √3/2
- tan 30° = cạnh đối / cạnh kề = 1/√3 = √3/3
Ví dụ 2: Chuyển đổi 45° sang radian.
α (rad) = α (độ) × π / 180 = 45 × π / 180 = π/4 rad
Hiểu rõ các khái niệm cơ bản về lượng giác là nền tảng quan trọng để tiếp cận các công thức lượng giác phức tạp hơn và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
2. Các công thức lượng giác cơ bản
Các công thức lượng giác cơ bản là nền tảng cho mọi phép tính và biến đổi lượng giác. Việc nắm vững những công thức này giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán phức tạp hơn và hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các hàm lượng giác.
Công thức liên hệ giữa sin và cos
Công thức quan trọng nhất trong lượng giác là mối liên hệ giữa sin và cos của cùng một góc:
sin²α + cos²α = 1
Công thức này xuất phát từ định lý Pythagore và là cơ sở cho nhiều công thức lượng giác khác. Từ công thức này, ta có thể suy ra:
- sin²α = 1 – cos²α
- cos²α = 1 – sin²α
Công thức liên hệ giữa tan và cot
Giữa tang và cotang của cùng một góc có mối quan hệ nghịch đảo:
tan α × cot α = 1 (với α ≠ kπ/2, k ∈ Z)
Công thức này áp dụng cho mọi góc α, ngoại trừ các góc mà tại đó tan α hoặc cot α không xác định (α = kπ/2, k là số nguyên).
Công thức liên hệ giữa tan và cos
Mối quan hệ giữa tang và cosin được biểu diễn qua công thức:
1 + tan²α = 1/cos²α (với α ≠ (2k+1)π/2, k ∈ Z)
Công thức này rất hữu ích khi cần biến đổi các biểu thức có chứa tan²α hoặc 1/cos²α.
Công thức liên hệ giữa cot và sin
Tương tự, mối quan hệ giữa cotang và sin được biểu diễn qua công thức:
1 + cot²α = 1/sin²α (với α ≠ kπ, k ∈ Z)
Ví dụ áp dụng công thức cơ bản
Ví dụ 1: Tính cos α, biết sin α = 3/5 và α là góc nhọn.
Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1:
- cos²α = 1 – sin²α = 1 – (3/5)² = 1 – 9/25 = 16/25
- Do α là góc nhọn nên cos α > 0
- Vậy cos α = 4/5
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 3cos²α, biết tan α = 1.
Từ tan α = 1, ta có sin α = cos α (vì tan α = sin α / cos α) Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1:
- Nếu đặt sin²α = x thì cos²α = 1 – x
- Do sin α = cos α nên sin²α = cos²α, tức là x = 1 – x
- Giải ra: x = 1/2
- Vậy sin²α = cos²α = 1/2
- A = 2sin²α + 3cos²α = 2(1/2) + 3(1/2) = 1 + 1,5 = 2,5
Ví dụ 3: Chứng minh rằng (1 + tan²α)(1 – sin²α) = 1.
Áp dụng các công thức cơ bản:
- (1 + tan²α)(1 – sin²α) = (1 + tan²α)(cos²α)
- = cos²α + tan²α·cos²α
- = cos²α + (sin²α/cos²α)·cos²α
- = cos²α + sin²α
- = 1
Các công thức lượng giác cơ bản này là nền tảng để hiểu và áp dụng các công thức phức tạp hơn. Việc thành thạo các công thức này sẽ giúp bạn tiếp cận các bài toán lượng giác một cách tự tin và hiệu quả.
3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác
Đường tròn lượng giác là một công cụ hình học quan trọng giúp biểu diễn các giá trị lượng giác của các góc khác nhau. Các công thức cung liên kết cho phép chúng ta tính giá trị lượng giác của một góc khi biết giá trị lượng giác của góc liên quan.
Công thức lượng giác của góc đối (-α)
Khi một góc bị đổi dấu, các giá trị lượng giác của nó thay đổi như sau:
- sin(-α) = -sin α
- cos(-α) = cos α
- tan(-α) = -tan α
- cot(-α) = -cot α
Có thể thấy, hàm cos là hàm chẵn (giữ nguyên giá trị khi góc đổi dấu), trong khi sin, tan và cot là các hàm lẻ (đổi dấu khi góc đổi dấu).
Công thức lượng giác của góc bù (π – α)
Góc bù của α là góc (π – α). Các giá trị lượng giác của góc bù được tính như sau:
- sin(π – α) = sin α
- cos(π – α) = -cos α
- tan(π – α) = -tan α
- cot(π – α) = -cot α
Công thức lượng giác của góc phụ (π/2 – α)
Góc phụ của α là góc (π/2 – α). Các giá trị lượng giác của góc phụ được tính như sau:
- sin(π/2 – α) = cos α
- cos(π/2 – α) = sin α
- tan(π/2 – α) = cot α
- cot(π/2 – α) = tan α
Đây là mối quan hệ “phụ chéo” trong lượng giác: sin của góc này bằng cos của góc kia và ngược lại, tương tự cho tan và cot.
Công thức lượng giác của góc hơn kém π (π + α)
Khi cộng thêm π vào một góc, các giá trị lượng giác thay đổi như sau:
- sin(π + α) = -sin α
- cos(π + α) = -cos α
- tan(π + α) = tan α
- cot(π + α) = cot α
Công thức lượng giác của góc hơn kém π/2 (π/2 + α)
Khi cộng thêm π/2 vào một góc, các giá trị lượng giác thay đổi như sau:
- sin(π/2 + α) = cos α
- cos(π/2 + α) = -sin α
- tan(π/2 + α) = -cot α
- cot(π/2 + α) = -tan α
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính sin(−30°), cos(−30°), tan(−30°).
Áp dụng công thức góc đối:
- sin(−30°) = -sin 30° = -1/2
- cos(−30°) = cos 30° = √3/2
- tan(−30°) = -tan 30° = -1/√3 = -√3/3
Ví dụ 2: Tính sin(150°), cos(150°), tan(150°).
Góc 150° có thể viết là (π – 30°) hoặc (180° – 30°), nên ta áp dụng công thức góc bù:
- sin(150°) = sin(180° – 30°) = sin 30° = 1/2
- cos(150°) = cos(180° – 30°) = -cos 30° = -√3/2
- tan(150°) = tan(180° – 30°) = -tan 30° = -1/√3 = -√3/3
Ví dụ 3: Tính sin(π/2 + π/6), biết sin(π/6) = 1/2 và cos(π/6) = √3/2.
Áp dụng công thức góc hơn kém π/2:
- sin(π/2 + π/6) = cos(π/6) = √3/2
Một cách dễ nhớ các công thức cung liên kết là câu: “cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π”. Câu này nhắc nhở chúng ta rằng:
- cos là hàm chẵn (giữ nguyên khi góc đổi dấu)
- sin của góc bù bằng sin của góc gốc
- Góc phụ có mối quan hệ “chéo” giữa sin và cos
- tan và cot giữ nguyên khi góc thay đổi π
Các công thức cung liên kết này rất hữu ích khi cần tính giá trị lượng giác của các góc không nằm trong bảng giá trị thông thường, hoặc khi cần biến đổi các biểu thức lượng giác phức tạp.
4. Công thức cộng và hiệu lượng giác
Công thức cộng và hiệu lượng giác cho phép tính giá trị lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc khi biết giá trị lượng giác của từng góc riêng biệt. Đây là những công thức quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán lượng giác phức tạp.
Công thức sin(α ± β)
Công thức sin của tổng và hiệu hai góc:
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Công thức cos(α ± β)
Công thức cos của tổng và hiệu hai góc:
- cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
- cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Công thức tan(α ± β)
Công thức tan của tổng và hiệu hai góc:
- tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β)
- tan(α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α tan β)
Lưu ý rằng các công thức này chỉ áp dụng khi mẫu số khác 0, tức là 1 – tan α tan β ≠ 0 và 1 + tan α tan β ≠ 0.
Công thức cot(α ± β)
Công thức cot của tổng và hiệu hai góc:
- cot(α + β) = (cot α cot β – 1) / (cot β + cot α)
- cot(α – β) = (cot α cot β + 1) / (cot β – cot α)
Tương tự, các công thức này chỉ áp dụng khi mẫu số khác 0.
Mẹo nhớ công thức cộng lượng giác
Một cách dễ nhớ công thức cộng lượng giác là câu: “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”
Câu này giúp bạn nhớ:
- Công thức sin(α + β) có dạng “sin cos + cos sin”
- Công thức cos(α + β) có dạng “cos cos – sin sin” (chú ý dấu trừ)
- Công thức tan(α + β) có dạng “(tan + tan) / (1 – tan tan)”
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính sin(75°), biết sin(45°) = 1/√2 và cos(45°) = 1/√2, sin(30°) = 1/2 và cos(30°) = √3/2.
Ta có 75° = 45° + 30°, nên áp dụng công thức sin(α + β):
- sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)
- = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)
- = √3/2√2 + 1/2√2
- = (√3 + 1)/2√2
- = (√3 + 1)/2√2 × √2/√2
- = (√3 + 1)/2√2 × √2/√2
- = (√3 + 1)√2/4
Ví dụ 2: Tính cos(15°), biết cos(45°) = 1/√2 và cos(30°) = √3/2.
Ta có 15° = 45° – 30°, nên áp dụng công thức cos(α – β):
- cos(15°) = cos(45° – 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°)
- = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)
- = √3/2√2 + 1/2√2
- = (√3 + 1)/2√2
- = (√3 + 1)√2/4
Ví dụ 3: Chứng minh rằng sin(α + β)sin(α – β) = sin²α – sin²β.
Áp dụng công thức sin(α + β) và sin(α – β):
- sin(α + β)sin(α – β) = [sin α cos β + cos α sin β][sin α cos β – cos α sin β]
- = (sin α cos β)² – (cos α sin β)²
- = sin²α cos²β – cos²α sin²β
- = sin²α (1 – sin²β) – (1 – sin²α) sin²β
- = sin²α – sin²α sin²β – sin²β + sin²α sin²β
- = sin²α – sin²β
Các công thức cộng và hiệu lượng giác là công cụ mạnh mẽ để tính giá trị lượng giác của các góc phức tạp và biến đổi các biểu thức lượng giác. Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán lượng giác một cách hiệu quả.
5. Công thức nhân lượng giác
Công thức nhân lượng giác cho phép tính giá trị lượng giác của góc gấp đôi, gấp ba hoặc gấp bốn một góc ban đầu. Các công thức này đặc biệt hữu ích trong việc giải phương trình lượng giác và biến đổi biểu thức.
Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi cho phép tính giá trị lượng giác của góc 2α khi biết giá trị lượng giác của góc α:
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos² α – sin² α = 2cos² α – 1 = 1 – 2sin² α
- tan 2α = 2 tan α / (1 – tan² α)
- cot 2α = (cot² α – 1) / (2 cot α)
Các công thức này được suy ra từ công thức cộng lượng giác khi α = β.
Công thức nhân ba
Công thức nhân ba cho phép tính giá trị lượng giác của góc 3α:
- sin 3α = 3 sin α – 4 sin³ α
- cos 3α = 4 cos³ α – 3 cos α
- tan 3α = (3 tan α – tan³ α) / (1 – 3 tan² α)
Các công thức này có thể được suy ra bằng cách áp dụng công thức cộng lượng giác và công thức nhân đôi.
Công thức nhân bốn
Công thức nhân bốn cho phép tính giá trị lượng giác của góc 4α:
- sin 4α = 4 sin α cos³ α – 4 cos α sin³ α = 8 sin α cos α cos 2α
- cos 4α = 8 cos⁴ α – 8 cos² α + 1 = 8 cos² α cos 2α – cos 2α
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính sin 60°, cos 60° và tan 60° sử dụng công thức nhân đôi, biết sin 30° = 1/2 và cos 30° = √3/2.
Áp dụng công thức nhân đôi với α = 30°:
- sin 60° = sin(2 × 30°) = 2 sin 30° cos 30° = 2 × (1/2) × (√3/2) = √3/2
- cos 60° = cos(2 × 30°) = cos² 30° – sin² 30° = (√3/2)² – (1/2)² = 3/4 – 1/4 = 1/2
- tan 60° = tan(2 × 30°) = 2 tan 30° / (1 – tan² 30°) = 2 × (1/√3) / (1 – (1/√3)²) = 2/√3 × 3/(3-1) = 2/√3 × 3/2 = 3/√3 = √3
Ví dụ 2: Tính sin 90° sử dụng công thức nhân ba, biết sin 30° = 1/2 và cos 30° = √3/2.
Áp dụng công thức nhân ba với α = 30°:
- sin 90° = sin(3 × 30°) = 3 sin 30° – 4 sin³ 30° = 3 × (1/2) – 4 × (1/2)³ = 3/2 – 4/8 = 3/2 – 1/2 = 1
Ví dụ 3: Chứng minh rằng sin 4α = 8 sin α cos α cos 2α.
Áp dụng công thức nhân đôi hai lần:
- sin 4α = sin(2 × 2α) = 2 sin 2α cos 2α
- = 2 × (2 sin α cos α) × cos 2α
- = 8 sin α cos α cos 2α
Mẹo ghi nhớ công thức nhân đôi
Một cách dễ nhớ công thức nhân đôi là:
- sin 2α có dạng “2 sin cos”
- cos 2α có ba dạng tương đương: “cos² – sin²” hoặc “2cos² – 1” hoặc “1 – 2sin²”
- tan 2α có dạng “2 tan / (1 – tan²)”
Các công thức nhân lượng giác rất hữu ích trong việc tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và biến đổi các biểu thức lượng giác phức tạp. Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán lượng giác một cách hiệu quả.
6. Công thức biến đổi tổng và tích lượng giác
Các công thức biến đổi tổng và tích lượng giác là những công cụ mạnh mẽ giúp đơn giản hóa các biểu thức lượng giác phức tạp. Chúng cho phép chuyển đổi giữa tổng/hiệu các hàm lượng giác và tích của chúng, hoặc ngược lại.
Công thức hạ bậc lượng giác
Công thức hạ bậc lượng giác cho phép biểu diễn sin² α và cos² α dưới dạng các hàm của góc 2α:
- sin² α = (1 – cos 2α) / 2
- cos² α = (1 + cos 2α) / 2
Các công thức này được suy ra từ công thức nhân đôi của cos 2α:
- cos 2α = cos² α – sin² α = 2cos² α – 1 = 1 – 2sin² α
Từ đó:
- 2sin² α = 1 – cos 2α
- 2cos² α = 1 + cos 2α
Công thức biến đổi tổng thành tích
Các công thức này cho phép biến đổi tổng hoặc hiệu của các hàm sin và cos thành tích:
- sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α – β)/2)
- sin α – sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α – β)/2)
- cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α – β)/2)
- cos α – cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α – β)/2)
Một cách dễ nhớ các công thức này là: “cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.”
Công thức biến đổi tích thành tổng
Ngược lại, các công thức sau cho phép biến đổi tích của các hàm sin và cos thành tổng hoặc hiệu:
- sin α sin β = (cos(α – β) – cos(α + β)) / 2
- cos α cos β = (cos(α – β) + cos(α + β)) / 2
- sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α – β)) / 2
- cos α sin β = (sin(α + β) – sin(α – β)) / 2
Ứng dụng trong giải phương trình lượng giác
Các công thức biến đổi tổng và tích lượng giác đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương trình lượng giác phức tạp, đặc biệt là các phương trình có dạng tích hoặc tổng của các hàm lượng giác.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức sin 3x + sin 5x thành tích.
Áp dụng công thức sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α – β)/2):
- sin 3x + sin 5x = 2 sin((3x + 5x)/2) cos((3x – 5x)/2)
- = 2 sin(4x) cos(-x)
- = 2 sin(4x) cos(x) (vì cos(-x) = cos(x))
Ví dụ 2: Biến đổi biểu thức cos 2x cos 3x thành tổng.
Áp dụng công thức cos α cos β = (cos(α – β) + cos(α + β)) / 2:
- cos 2x cos 3x = (cos(2x – 3x) + cos(2x + 3x)) / 2
- = (cos(-x) + cos(5x)) / 2
- = (cos(x) + cos(5x)) / 2 (vì cos(-x) = cos(x))
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức sin 20° + sin 40° + sin 80°.
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
- sin 20° + sin 40° = 2 sin((20° + 40°)/2) cos((20° – 40°)/2)
- = 2 sin(30°) cos(-10°)
- = 2 sin(30°) cos(10°) (vì cos(-x) = cos(x))
- = 2 × (1/2) × cos(10°)
- = cos(10°)
Tiếp tục:
- sin 20° + sin 40° + sin 80° = cos(10°) + sin(80°)
Nhận thấy sin(80°) = sin(90° – 10°) = cos(10°), nên:
- cos(10°) + sin(80°) = cos(10°) + cos(10°) = 2cos(10°)
Các công thức biến đổi tổng và tích lượng giác là những công cụ mạnh mẽ trong việc đơn giản hóa các biểu thức lượng giác phức tạp và giải các phương trình lượng giác. Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp bạn tiếp cận các bài toán lượng giác một cách hiệu quả và linh hoạt.
7. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là công cụ thiết yếu giúp giải quyết nhanh chóng nhiều bài toán lượng giác. Việc ghi nhớ các giá trị này sẽ tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác khi làm bài tập hoặc giải quyết các vấn đề thực tế.
Bảng giá trị lượng giác của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
| Góc α | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° (0 rad) | 0 | 1 | 0 | ∞ |
| 30° (π/6 rad) | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° (π/4 rad) | 1/√2 | 1/√2 | 1 | 1 |
| 60° (π/3 rad) | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° (π/2 rad) | 1 | 0 | ∞ | 0 |
Một cách dễ nhớ giá trị sin và cos của các góc đặc biệt là quy tắc “căn bậc hai của phân số có mẫu số là 4”:
- sin của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° tương ứng với √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4)
- cos của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° tương ứng với √(4/4), √(3/4), √(2/4), √(1/4), √(0/4)
Bảng giá trị lượng giác của các góc 120°, 135°, 150°, 180°
| Góc α | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 120° (2π/3 rad) | √3/2 | -1/2 | -√3 | -1/√3 |
| 135° (3π/4 rad) | 1/√2 | -1/√2 | -1 | -1 |
| 150° (5π/6 rad) | 1/2 | -√3/2 | -1/√3 | -√3 |
| 180° (π rad) | 0 | -1 | 0 | ∞ |
Các giá trị này có thể được tính từ bảng giá trị của các góc trong góc phần tư thứ nhất bằng cách áp dụng các công thức cung liên kết.
Bảng xét dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư
| Góc phần tư | Khoảng | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|---|
| I | (0°, 90°) | + | + | + | + |
| II | (90°, 180°) | + | – | – | – |
| III | (180°, 270°) | – | – | + | + |
| IV | (270°, 360°) | – | + | – | – |
Một cách dễ nhớ dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư là:
- sin: “Cộng Cộng Trừ Trừ” (tương tự như trục tung y)
- cos: “Cộng Trừ Trừ Cộng” (tương tự như trục hoành x)
- tan và cot: “Cộng Trừ Cộng Trừ”
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = sin 60° × cos 30° – cos 60° × sin 30°.
Từ bảng giá trị lượng giác:
- sin 60° = √3/2
- cos 30° = √3/2
- cos 60° = 1/2
- sin 30° = 1/2
Thay vào biểu thức:
- A = (√3/2) × (√3/2) – (1/2) × (1/2)
- = 3/4 – 1/4
- = 1/2
Nhận xét: Biểu thức trên có dạng sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β với α = 60° và β = 30°. Do đó: A = sin(60° – 30°) = sin 30° = 1/2
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức B = sin² 45° + cos² 45° + tan² 30°.
Từ bảng giá trị lượng giác:
- sin 45° = 1/√2
- cos 45° = 1/√2
- tan 30° = 1/√3
Thay vào biểu thức:
- B = (1/√2)² + (1/√2)² + (1/√3)²
- = 1/2 + 1/2 + 1/3
- = 1 + 1/3
- = 4/3
Nhận xét: Phần sin² 45° + cos² 45° = 1 (theo công thức cơ bản sin² α + cos² α = 1)
Ví dụ 3: Tính sin 150° và cos 150°.
Góc 150° nằm ở góc phần tư thứ II và có thể viết là 150° = 180° – 30°. Áp dụng công thức góc bù:
- sin 150° = sin(180° – 30°) = sin 30° = 1/2
- cos 150° = cos(180° – 30°) = -cos 30° = -√3/2
Việc nắm vững bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và quy tắc xét dấu theo góc phần tư sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng nhiều bài toán lượng giác mà không cần phải áp dụng các công thức phức tạp.
8. Mẹo ghi nhớ công thức lượng giác hiệu quả
Ghi nhớ tất cả các công thức lượng giác có thể là một thách thức lớn đối với nhiều học sinh. Tuy nhiên, với một số phương pháp ghi nhớ hiệu quả, bạn có thể dễ dàng nhớ và áp dụng các công thức này trong các bài toán và tình huống thực tế.
Phương pháp ghi nhớ bằng câu thơ
Nhiều công thức lượng giác có thể được ghi nhớ thông qua các câu thơ dễ nhớ:
1. Mẹo nhớ định nghĩa tỉ số lượng giác cơ bản: “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”
Câu này giúp bạn nhớ:
- Sin là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền
- Cos là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền
- Tan là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề
- Cot là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối
2. Mẹo nhớ công thức cộng lượng giác: “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”
Câu này giúp bạn nhớ:
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
- tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β)
3. Mẹo nhớ công thức các cung liên kết: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π”
Câu này giúp bạn nhớ:
- cos(-α) = cos α (cos của góc đối bằng cos của góc gốc)
- sin(π – α) = sin α (sin của góc bù bằng sin của góc gốc)
- sin(π/2 – α) = cos α (sin và cos của góc phụ có quan hệ “chéo”)
- tan(π + α) = tan α (tan của góc hơn kém π bằng tan của góc gốc)
4. Mẹo nhớ công thức biến đổi tổng thành tích: “Cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.”
Phương pháp ghi nhớ bằng hình ảnh
Sử dụng hình ảnh trực quan để ghi nhớ các công thức lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác: Hình dung một đường tròn đơn vị với các góc đặc biệt được đánh dấu. Điều này giúp bạn nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư.
2. Tam giác vuông đặc biệt: Hình dung các tam giác vuông đặc biệt (30°-60°-90° và 45°-45°-90°) với độ dài cạnh tương ứng để nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
3. Quy tắc “căn bậc hai của phân số có mẫu số là 4”: Hình dung một dãy số từ 0 đến 4 để nhớ giá trị sin và cos của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90°:
- sin: √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4)
- cos: √(4/4), √(3/4), √(2/4), √(1/4), √(0/4)
Phương pháp ghi nhớ bằng quy tắc
Sử dụng các quy tắc logic để ghi nhớ các công thức lượng giác:
1. Quy tắc dấu theo góc phần tư:
- sin: “Cộng Cộng Trừ Trừ” (tương tự như trục tung y)
- cos: “Cộng Trừ Trừ Cộng” (tương tự như trục hoành x)
- tan và cot: “Cộng Trừ Cộng Trừ”
2. Quy tắc chuyển đổi giữa các hàm lượng giác:
- tan α = sin α / cos α
- cot α = cos α / sin α = 1 / tan α
3. Quy tắc nhớ công thức nhân đôi:
- sin 2α có dạng “2 sin cos”
- cos 2α có ba dạng tương đương: “cos² – sin²” hoặc “2cos² – 1” hoặc “1 – 2sin²”
Phương pháp liên kết logic
Hiểu logic đằng sau các công thức giúp bạn nhớ chúng tốt hơn:
1. Liên kết công thức cộng và công thức nhân đôi: Công thức nhân đôi được suy ra từ công thức cộng khi α = β.
2. Liên kết công thức nhân đôi và công thức hạ bậc: Công thức hạ bậc được suy ra từ công thức nhân đôi của cos 2α.
3. Liên kết các công thức cung liên kết: Hiểu mối quan hệ giữa các góc đối, góc bù, góc phụ và góc hơn kém π.
Ứng dụng thực tế
Áp dụng các công thức lượng giác vào các tình huống thực tế giúp bạn nhớ chúng tốt hơn:
1. Ứng dụng trong vật lý: Sử dụng công thức lượng giác để giải các bài toán về dao động, sóng, quang học.
2. Ứng dụng trong kỹ thuật: Sử dụng công thức lượng giác trong thiết kế cầu, nhà cửa, máy móc.
3. Ứng dụng trong đời sống: Sử dụng công thức lượng giác để tính chiều cao của tòa nhà, khoảng cách giữa các vật thể.
Việc kết hợp nhiều phương pháp ghi nhớ khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững các công thức lượng giác một cách hiệu quả và lâu dài. Hãy chọn phương pháp phù hợp với cách học của bạn và thực hành thường xuyên để củng cố kiến thức.
Câu hỏi thường gặp về công thức lượng giác
1. Làm thế nào để phân biệt và ghi nhớ các công thức lượng giác?
Để phân biệt và ghi nhớ các công thức lượng giác, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Phân loại công thức: Chia các công thức thành nhóm (cơ bản, cộng/hiệu, nhân đôi, biến đổi tổng/tích) để dễ quản lý.
- Sử dụng câu thơ hoặc câu ghi nhớ: Như “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn” để nhớ định nghĩa cơ bản.
- Liên kết logic: Hiểu mối quan hệ giữa các công thức, ví dụ công thức nhân đôi được suy ra từ công thức cộng.
- Thực hành thường xuyên: Giải nhiều bài tập áp dụng các công thức khác nhau để củng cố trí nhớ.
- Tạo sơ đồ tư duy: Vẽ sơ đồ tư duy để thể hiện mối quan hệ giữa các công thức lượng giác.
Việc hiểu rõ ý nghĩa và nguồn gốc của mỗi công thức sẽ giúp bạn nhớ lâu hơn so với việc học thuộc lòng.
2. Tại sao cần học công thức lượng giác và ứng dụng thực tế của chúng?
Công thức lượng giác có nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống và khoa học kỹ thuật:
- Trong toán học: Là nền tảng cho giải tích, hình học và nhiều nhánh toán học khác.
- Trong vật lý: Ứng dụng trong nghiên cứu dao động, sóng âm, sóng điện từ, quang học.
- Trong kỹ thuật: Sử dụng trong xây dựng, kiến trúc, thiết kế cầu đường, máy móc.
- Trong thiên văn học: Tính toán quỹ đạo, vị trí của các thiên thể.
- Trong âm nhạc: Phân tích và tổng hợp âm thanh.
- Trong y học: Phân tích các tín hiệu sinh học như điện tâm đồ (ECG).
- Trong công nghệ thông tin: Xử lý hình ảnh, nén dữ liệu, đồ họa máy tính.
Hiểu và áp dụng được công thức lượng giác giúp bạn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
3. Làm thế nào để áp dụng công thức lượng giác vào giải các bài toán?
Để áp dụng công thức lượng giác vào giải các bài toán, bạn nên:
- Phân tích bài toán: Xác định rõ yêu cầu và dữ kiện của bài toán.
- Nhận diện dạng bài: Xác định dạng bài toán (tính giá trị, chứng minh đẳng thức, giải phương trình).
- Chọn công thức phù hợp: Dựa vào dạng bài, chọn công thức lượng giác phù hợp để áp dụng.
- Biến đổi biểu thức: Sử dụng các công thức để biến đổi biểu thức về dạng đơn giản hơn.
- Kiểm tra kết quả: Đảm bảo kết quả hợp lý và đáp ứng yêu cầu bài toán.
Ví dụ, khi gặp biểu thức có dạng sin(α + β), bạn có thể áp dụng công thức cộng lượng giác để biến đổi thành sin α cos β + cos α sin β.
4. Có cách nào để ghi nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt không?
Để ghi nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, bạn có thể sử dụng:
- Quy tắc “căn bậc hai của phân số có mẫu số là 4”:
- sin của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° tương ứng với √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4)
- cos của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° tương ứng với √(4/4), √(3/4), √(2/4), √(1/4), √(0/4)
- Hình dung tam giác vuông đặc biệt:
- Tam giác vuông 30°-60°-90° có tỉ lệ cạnh là 1 : √3 : 2
- Tam giác vuông 45°-45°-90° có tỉ lệ cạnh là 1 : 1 : √2
- Quy tắc dấu theo góc phần tư:
- sin: “Cộng Cộng Trừ Trừ”
- cos: “Cộng Trừ Trừ Cộng”
- tan và cot: “Cộng Trừ Cộng Trừ”
Thực hành tính toán với các giá trị này thường xuyên sẽ giúp bạn ghi nhớ chúng một cách tự nhiên.
5. Làm thế nào để chuyển đổi giữa radian và độ trong lượng giác?
Để chuyển đổi giữa radian và độ trong lượng giác, bạn sử dụng các công thức sau:
- Chuyển từ độ sang radian: α (rad) = α (độ) × π / 180
- Chuyển từ radian sang độ: α (độ) = α (rad) × 180 / π
Một số giá trị chuyển đổi thông dụng:
- 30° = π/6 rad
- 45° = π/4 rad
- 60° = π/3 rad
- 90° = π/2 rad
- 180° = π rad
- 360° = 2π rad
Để nhớ dễ dàng, bạn có thể ghi nhớ rằng 180° tương đương với π rad, và từ đó suy ra các giá trị khác. Ví dụ, 90° bằng một nửa của 180°, nên 90° = π/2 rad.
Kết luận
Công thức lượng giác đóng vai trò quan trọng trong toán học và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống. Từ những khái niệm cơ bản về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông đến các công thức phức tạp như công thức cộng, công thức nhân và công thức biến đổi tổng thành tích, mỗi công thức đều có vai trò riêng trong việc giải quyết các bài toán lượng giác.
Việc nắm vững các công thức lượng giác không chỉ giúp bạn đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Các công thức này là nền tảng cho nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, thiên văn học, âm nhạc và y học.
Để ghi nhớ hiệu quả các công thức lượng giác, bạn có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như học qua câu thơ, hình ảnh trực quan, quy tắc logic hoặc liên kết với ứng dụng thực tế. Việc thực hành thường xuyên và áp dụng các công thức vào giải quyết các bài toán cụ thể sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng.
Hãy xem các công thức lượng giác không chỉ là những công cụ toán học mà còn là chìa khóa để khám phá và hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh. Từ việc tính toán khoảng cách, độ cao đến phân tích các hiện tượng dao động và sóng, công thức lượng giác luôn hiện diện và đóng vai trò quan trọng.
Bạn đã sẵn sàng áp dụng các công thức lượng giác vào giải quyết các bài toán và vấn đề thực tế chưa? Hãy bắt đầu bằng việc ôn lại các công thức cơ bản và thực hành với các bài tập đơn giản, sau đó dần dần tiến tới các bài toán phức tạp hơn. Với sự kiên trì và thực hành thường xuyên, bạn sẽ thành thạo các công thức lượng giác và ứng dụng chúng một cách hiệu quả.
